Le carré magique

En présentant ce tour, vous allez passer pour un calculateur prodige en réalisant à la demande un carré magique de 16 cases.

Matériel:

  • Un crayon
  • Un papier
  • Eventuellement une calculatrice (pour que le spectateur puisse vérifier vos calculs)

Principe du carré magique:

Un carré magique est un tableau carré de plusieurs cases contenant des nombres. Un carré est dit magique lorsque tous les nombres qui le composent sont différents et que la somme de chaque rangée, colonne, et diagonale est identique. On appelle 'ordre', le nombre de cases formant les cotés du carré. Dans l'exemple ci-contre, on a un carré magique d'ordre 4 dont la somme 'magique' est 34. Cette image est extraite de la célèbre gravure de l'allemand Dürer, "La Mélancolie" (1514).

Un 'super carré magique' est un carré magique 'classique' (la somme de chaque colonne, rangée et diagonale est identique) mais qui a en plus la particularité que la somme de chaque groupe de 4 nombres est également identique. Par exemple, la somme des 4 carrés du milieu est également égale à 34; de même, pour les 4 cases des coins, etc... 

Historique:

D'après la légende, l'empereur Yu le Grand (2200 avant J.C.) aurait aperçu une configuration de carré magique d'ordre 3 sur la carapace d'une tortue divine. L'image de gauche en est une représentation (Le nombre de points composant les figures représente les nombres). Les nombres pairs (en noir) représentent le Yin et les nombres impairs (en blanc) le Yang.

L'un des carrés magiques d'ordre 4 le plus ancien est toujours visible. Il se trouve gravé sur un temple indien à Khajuraho datant du XIème siècle.

On a souvent attribué au carré magique des propriétés 'ésotériques'. Les carrés étaient ainsi utilisés comme des talismans et des porte bonheurs. Le nom 'carré magique' a justement pour origine les propriétés 'magiques' qu'on leurs attribuait. Les alchimistes ont également défini des carrés magiques en fonction des astres. On trouve par exemple le carré de Venus (d'ordre 7) ou encore le carré du Soleil (d'ordre 6).

Pour aller plus loin avec les carrés magiques:

Vous trouverez plus d'informations au sujet des carrés magiques sur l'encyclopédie Wikipedia: Carré magique (mathématiques), sur le site de Gérard VILLEMIN : Carrés Magiques et Diaboliques, ainsi que sur le site de René Descombes Les Carrés Magiques.

Pour les plus curieux, vous pouvez vous référer aux ouvrages ci-dessous:

Ces ouvrages retraçent l'origine des carrés magiques, les différents types de carrés, leurs proprietés, les différentes méthodes de construction, etc ...

Protocole:

Nous allons ici apprendre à réaliser en quelques secondes un 'super carré magique' (en fait, ce sera un 'presque' super carré magique) d'ordre 4 dont la somme magique sera choisie librement par un spectateur.

Pour réaliser ce carré magique, nous allons utiliser la formule de Berholt (simplifiée).

La formule 'simplifiée' est présentée dans le tableau 1 ci-dessous. Pour cette formule, A, B, C, D, x, y sont 6 nombres. La somme du carré magique est = A + B + C + D. Pour information, le tableau 1-bis présente la formule 'initiale' de Berholt qui permet de réaliser un carré magique 'simple'.

C-x B+x+y A+x-y D-x
D-y A B C+y
B+y C D A-y
A+x D-x-y C-x+y B+x
C-a B+a+c A+b-c D-b
D+a-d A B C-a+d
B-b+d C D A+b-d
A+b D-a-c C-b+c B+a
Tableau 1 Tableau 1-bis

Pour ce tour, nous allons chercher à faire un carré magique dont la somme est comprise entre 50 et 100. Ce nombre sera choisi librement par un spectateur. 

Pour réaliser ce type de carré, on remplace les lettres A,B,C,D,x,y par des valeurs arbitraires de telle sorte que A+B+C = 30 (30 est choisit aussi de manière arbitraire mais il est plus simple de choisir un nombre rond) et x et y des nombres petits (mais différents). Ces nombres sont à choisir de manière à ce qu'il n'y ait pas de nombres en double une fois le carré magique construit. Il faut donc faire en sorte de ne pas prendre des nombres trop proches les uns des autres. Je vous propose les valeurs suivantes (voir tableau 2). D représente l'inconnu, il sera calculé en fonction de la somme que l'on souhaite donner au carré magique. Les nombres choisis dans le tableau 2 garantissent que, peu importe la valeur de la somme choisie par le spectateur (entre 50 et 100), il n'y aura ni nombre en double, ni nombre négatif dans votre carré magique. Si le nombre choisi pour la somme est entre 33 et 50, il risque d'y avoir des nombres en double. Si le nombre choisi pour la somme est inférieur à 33, votre carré comporterait des nombres négatifs.

On remplace les formules du tableau 1 par les valeurs choisies dans le tableau 2. Le résultat de ces calculs est présenté dans les tableaux 3 et 4

Si vous le désirez, vous pouvez, bien sûr, modifier les valeurs de A, B, C, x et y pour créer votre propre carré magique. Peut-être est il possible, en choisissant d'autres valeurs, de former un carré plus facile à retenir.

Pour présenter le tour, vous n'aurez pas à refaire ces calculs, vous devez juste apprendre par coeur le résultat presenté par le tableau 4 (ou, pour les moins courageux, vous le marquez sur une antisèche).Les cases vertes ne changeront pas, les cases jaunes seront calculées en fonction de la somme que l'on souhaite donner au carré magique. Vous remarquez que le calcul des cases jaunes est d'une grande simplicité. Le plus difficile dans ce tour est la mémorisation du tableau (tableau 4). 

A=6 x=1
B=9 y=2
C=15
D=?
15-1 9+3 6-1 ?-1
?-2 6 9 15+2
9+2 15 ? 6-2
6+1 ?-3 15+1 9+1
14 12 5 ?-1
?-2 6 9 17
11 15 ? 4
7 ?-3 16 10
Tableau 2 Tableau 3 Tableau 4

? est égal à : la somme que l'on souhaite donner au carré magique (nombre qui sera choisi par le sepctateur) - 30 (30 étant la somme de A+B+C). Exemple, le spectateur choisit 91 alors,  ? = 91 - 30 = 61. 

Le tableau 5 présente le carré magique terminé pour une somme égale à 91.

14 12 5 60
59 6 9 17
11 15 61 4
7 58 16 10
Tableau 5
 

Dans ce carré magique, la somme de chaque rangée et colonne est égale à 91 (tableau 6 et 7).
La somme de chaque diagonale est égale à 91 (tableau 8)
La somme des 4 carrés du centre est égale à 91 (tableau 9)
La somme des 4 carrés dans les coins est égale à 91 (tableau 10)
Etc...

Ci-dessous, l'ensemble des groupes de 4 nombres dont la somme fait 91 est presenté par les groupes de cases colorés d'une même couleur.

!Attention, la formule utilisée pour faire ce carré est une formule simplifiée. Le carré n'est pas complètement un 'super carré magique', certains groupes de 4 ne donnent pas 91, des exemples de groupes ne fonctionnant pas sont donnés dans les tableaux 17 et 18.


14 12 5 60
59 6 9 17
11 15 61 4
7 58 16 10
14 12 5 60
59 6 9 17
11 15 61 4
7 58 16 10
14 12 5 60
59 6 9 17
11 15 61 4
7 58 16 10
Tableau 6 Tableau 7 Tableau 8


14 12 5 60
59 6 9 17
11 15 61 4
7 58 16 10
14 12 5 60
59 6 9 17
11 15 61 4
7 58 16 10
14 12 5 60
59 6 9 17
11 15 61 4
7 58 16 10
Tableau 9 Tableau 10 Tableau 11

14 12 5 60
59 6 9 17
11 15 61 4
7 58 16 10
14 12 5 60
59 6 9 17
11 15 61 4
7 58 16 10
14 12 5 60
59 6 9 17
11 15 61 4
7 58 16 10
Tableau 12 Tableau 13 Tableau 14

14 12 5 60
59 6 9 17
11 15 61 4
7 58 16 10
14 12 5 60
59 6 9 17
11 15 61 4
7 58 16 10
14 12 5 60
59 6 9 17
11 15 61 4
7 58 16 10
Tableau 15 Tableau 16 Tableau 16-bis


14 12 5 60
59 6 9 17
11 15 61 4
7 58 16 10
14 12 5 60
59 6 9 17
11 15 61 4
7 58 16 10
 
Tableau 17 ! Ne fonctionne pas Tableau 18 ! Ne fonctionne pas  


Suggestion de présentation:

La présentation de ce tour est très répétitive; pour ne pas lasser votre public, je vous conseille de le présenter de manière énergique et enthousiaste. Au besoin, vous pouvez même raccourcir la présentation en ne présentant pas, par exemple, certains groupes de 4 nombres.

Je vais vous montrer une curiosité mathématique ou plutôt, une performance mathématique.  Pour cela, je vais tracer un tableau carré de 16 cases, comme ceci (tracez le tableau sur votre feuille, ou, si vous en avez la possibilité, sur un grand tableau blanc, etc...).

Pourrais-tu me donner un nombre, celui que tu veux, entre ... disons... entre 50 et 100. (Si vous préferez, vous pouvez demander l'année de naissance, ou l'année de mariage, ou l'âge... mais faîtes attention à ce que ce nombre soit compris entre 50 et 100).

Supposons qu'il vous réponde 91, écrivez ce nombre sous ou à coté du carré vide de 16 cases.

Complétez alors les cases du carré dans l'ordre classique de lecture (de gauche à droite et de haut en bas). Le remplir dans l'ordre de lecture est plus impressionnant car cela donne l'impression que les calculs sont faits uniquement dans votre tête et qu'il ne s'agit pas d'une 'technique' mathématique. Ne remplissez pas les cases trop rapidement et faites parfois semblant de réfléchir ou d'hésiter. Essayez de le remplir en 30 secondes environ.

Et voila! (regardez votre montre) moins de 30 secondes c'est vraiment pas mal.

14 12 5 60
59 6 9 17
11 15 61 4
7 58 16 10

Vous avez sous les yeux un carré magique réalisé de tête en 30 secondes. Un carré magique est un carré dont la somme de chaque rangée et colonne est identique. 

(Montrez la 1ère rangée et additionnez les cases à haute voix) 14+12, 26, +5, 31, +60, 91   91, c'est bien le nombre que tu avais choisi ? (montrez le nombre que vous aviez écrit à coté du carré)

La 2ème ligne (montrez la 2ème rangée et comptez à haute voix). (Puis faites de même avec la 3ème et la 4ème). Les colonnes maintenant (comme précédement, montrez et comptez )

Mais ce n'est pas tout. Les diagonales également (montrez et comptez). Pas mal non ? en seulement 30 secondes. (marquez une légère pause comme si votre tour était terminé)

Mais ce n'est pas tout !, les 4 carrés du centre (entourez les pour bien montrer à vos spectateurs de quel groupe vous parlez et comptez à haute voix). Et aussi les 4 carrés des coins (montrez les et comptez).

Ce n'est pas fini, il y a aussi ce groupe là, (vous présentez les groupes représentés dans le tableau 11. Groupe par groupe, entourez les et comptez), celui la (entourez et comptez), celui la (entourez et comptez) et celui ci (entourez et comptez).

Cela en est presque incroyable. (Marquez une pause). Mais il y en a encore. (Présentez tour à tour les groupes représentés dans les tableaux 12 13 et 14).

C'est absolument fou! (Marquez une pause). Il n'y en a plus ? si ! regardez ces deux là et ces deux là (Vous présentez les groupes représentés dans le tableau 15. Groupe par groupe, entourez les et comptez).

Encore ? Oui ! ces 4 là ! (Vous présentez les groupes représentés dans les tableaux 16 et 16bis. Groupe par groupe, entourez les et comptez).

Chaque groupe de 4 nombres fait 91 en seulement 30 secondes !

(Fin. Récoltez les applaudissements).


L'explication:

Sauf si le public est particulièrement doué pour les maths, je vous conseille de ne pas vous attarder sur les explications mathématiques du tour présenté. Celles ci sont en effet complexes et risqueraient d'ennuyer vos amis. Expliquez leur simplement que vous utilisez des méthodes complexes inventées par des mathematiciens comme Euler, Benjamin Franklin, Berholt,...

Si la curiosité de votre public est importante, vous pouvez leur présenter sous forme de tableau, la formule de Berholt (tableau 1 et 1bis présenté au début de cet article). Ils pourront ainsi construire eux mêmes un carré magique en remplacant les lettres par les valeurs de leur choix. Expliquez leur que la somme du carré magique sera égale à A+B+C+D.

C-x B+x+y A+x-y D-x
D-y A B C+y
B+y C D A-y
A+x D-x-y C-x+y B+x
C-a B+a+c A+b-c D-b
D+a-d A B C-a+d
B-b+d C D A+b-d
A+b D-a-c C-b+c B+a
Tableau 1 Tableau 1-bis

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